1. 欧式几何的5条几何公理,平行线的定义是什么?
在几何中,平行线的定义是在同一平面内,永不相交也永不重合的两条直线。在高等数学中,平行线的定义是相交于无限远的两条直线。在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:平行和相交。平行线的定义包括三个基本特征,分别是:同一平面内、两条直线、不相交。
平行线的平行公理:
1、经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。
2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补。
注意:只有两条平行线被第三条直线所截,同位角才会相等,内错角相等同旁内角互补。
平行线的判定:
1、同位角相等,两直线平行。
2、内错角相等,两直线平行。
3、同旁内角互补,两直线平行。
4、在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行。
5、在同一平面内,平行于同一直线的两条直线互相平行。
6、同一平面内永不相交的两直线互相平行。
2. 非欧几何的来源?
非欧几何学是一门大的数学分支,一般来讲 ,有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里德几何学不同的几何学,狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的,至于通常意义的非欧几何,就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设,长期以来,数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来,显得文字叙述冗长,而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到,而且以后再也没有使用。也就是说,在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决,人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对?第五公设到底能不能证明?
到了十九世纪二十年代,俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中,他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设,然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统,展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾,就等于证明了第五公设。我们知道,这其实就是数学中的反证法。
但是,在他极为细致深入的推理过程中,得出了一个又一个在直觉上匪夷所思,但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后,罗巴切夫斯基得出两个重要的结论:
第一,第五公设不能被证明。
第二,在新的公理体系中展开的一连串推理,得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理,并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
3. 相交线与平行线起源于什么?
相交线与平行线起源于欧式几何。
欧氏几何的平行公理,可以等价的陈述为“过直线外一点有唯一的一条直线和已知直线平行”。而其否定形式“过直线外一点没有和已知直线平行的直线”或“过直线外一点至少有两条直线和已知直线平行”,则可以作为欧氏几何平行公理的替代,而演绎出独立于欧氏几何的非欧几何。
欧氏几何中平行线的性质和判定
平行线的性质
1.经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补。
3.两条直线平行于第三条直线时,两条直线平行。
4.平行线分三角形对应边成比例。
这几条命题依赖于欧氏几何的第五公设(平行公理),所以在非欧几何中不成立。
平行线的判定
1、同位角相等,两直线平行。
2、内错角相等,两直线平行。
3、同旁内角互补,两直线平行。
4、在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行。
5、在同一平面内,平行于同一直线的两条直线互相平行。
6、同一平面内永不相交的两直线互相平行。
在欧几里得几何原本的体系中,这几条判定法则不依赖于第五公设(平行公理),所以在非欧几何中也成立。
相交线概念
如果两条直线只有一个公共点时,我们称这两条直线相交。相对的,我们称这两条直线为相交线。
性质
相交线
∠1和∠2有一条公共边AB,它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补),具有这种关系的两个角,互为邻补角(adjacent angles on a straight line)。
∠1和∠3有一个公共顶点O,并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角(verl ticaangles)。
∠1与∠2互补,∠3与∠2互补,由“同角的补角相等”,可以得出∠1=∠3.类似地,∠2=∠4.这样,我们得到了对顶角的性质:对顶角相等.
垂直是相交的一种特殊情况
4. 推论分别都有什么含义?
公理是不需要证明的,由实践得出的结论.
定理是由公理得出来的,也可以说是公理的推论,是需要证明的.
推论的定义是,根据公理或定理而推导出来的真命题.
定义就是数学名词的概念,例如,直角的定义就是"90度的角"定理是真命题,但真命题不一定是定理、公理
真命题是逻辑上的概念,而定理是在研究中觉得比较重要和常用的结果,授予它定理得地位而已.而公里这是逻辑讨论的前提 。
公理是显而易见,无需证明。定理是需要证明的,一般需要用到公理。推论是定理推出的相关结论,是定理的演化。
定义是对某件事物(比如内错角)的语言说明。公理是一些假设大家都承认的事实,比如欧几里得的平行公理,在欧氏几何中我们假设这个公理是正确的。
但在黎曼几何中不对,有另外的公理。推论指的是从定义、定理中直接能够看出的特殊结论,比如由平行公理很快能得出平行线的传递性这个推论。命题指的是能否判断真假的陈述句,错误的命题是假命题,正确的命题是真命题。
5. 欧氏几何的五大公理?
欧氏几何五大公理是:过相异两点,能作且只能作一直线(直线公理)。线段(有限直线)可以任意地延长。以任一点为圆心、任意长为半径,可作一圆(圆公理)。凡是直角都相等(角公理)。
两直线被第三条直线所截,如果同侧两内角和小于两个直角,则两直线则会在该侧相交。
6. 平行公理4是什么?
1 平行公理4指的是:如果直线L与平面P中的一条直线相交,形成了一组内角互补的角,并且在P中有另外一条直线与这些角的其中一个角互补,则这条直线与L平行。2 平行公理4是欧几里得几何学中的一条公理,它是保证几何学基本结构的重要公理之一。它告诉我们,当一条直线与平面中的直线相交时,它只能与这些直线中的一条平行。3 平行公理4是由欧几里得在《几何原本》中提出的,它帮助我们理解空间中的物理结构和运动规律,对于特定的几何形状和空间关系的研究具有重要意义。
7. 欧式几何与非欧式几何的异同点?
欧式几何和非欧式几何都是几何学的分支,它们之间的主要异同点如下:
相同点:
1. 都是研究空间中的图形、形状、大小、位置和相互关系等问题。
2. 都以公理为基础,通过推理和证明来得到结论。
3. 都具有广泛的应用,如在物理学、工程学、建筑学、计算机科学等领域中都有应用。
不同点:
1. 欧式几何是以欧几里得公理为基础的几何学,主要研究欧几里得空间中的图形和性质。而非欧式几何则是指不满足欧几里得公理的几何学,主要研究曲率空间中的图形和性质。
2. 欧式几何的公理包括点、直线、平面、共面、等于、平行等基本概念,而非欧式几何的公理则包括点、直线、平面、共面、等于等基本概念以及非欧几何公理,如双曲几何公理和椭圆几何公理等。
3. 欧式几何的图形和性质都是在平直空间中成立的,而非欧式几何中的图形和性质则取决于所研究的空间的曲率和形状,因此它们的性质和定理与欧式几何有很大的不同。
4. 欧式几何的应用范围相对较窄,主要应用于平面和空间中的几何问题,而非欧式几何则具有更广泛的应用,如广义相对论等领域中就有应用。
综上所述,欧式几何和非欧式几何在公理、研究对象和应用范围等方面都有所不同。